Câu 1: Số 180 có các ước số là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90. Tập hợp P là tập hợp các ước không nguyên tố của số 180, nên P = {4, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90}. Số phần tử của tập hợp P là 13.

Câu 2: Ta có ba số nguyên tố có tổng là 106. Số nguyên tố lớn nhất trong ba số đó là 43.

Câu 3: Số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các chữ số từ 0 đến 9. Chữ số hàng nghìn không thể là 0, nên có 9 lựa chọn. Các chữ số hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị có thể là bất kỳ chữ số từ 0 đến 9. Vậy có tổng cộng 9 * 10 * 10 * 10 = 9000 số chẵn có 4 chữ số.

Câu 4: Vận tốc trung bình được tính bằng tổng quãng đường chia cho tổng thời gian di chuyển. Quãng đường AB là cố định, nên ta chỉ cần tính tổng thời gian di chuyển. Thời gian di chuyển trên nửa quãng đường đầu là d1 = quãng đường / vận tốc = 0.5 / 15 = 1/30 giờ. Thời gian di chuyển trên nửa quãng đường sau là d2 = quãng đường / vận tốc = 0.5 / 10 = 1/20 giờ. Tổng thời gian di chuyển là d1 + d2 = 1/30 + 1/20 = 1/12 giờ. Vận tốc trung bình là quãng đường / tổng thời gian di chuyển = 1 / (1/12) = 12 km/h.

Câu 5: Gọi tuổi của em là x, tuổi của anh là 2x. Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
2x - 6 = 5(x - 6)
2x - 6 = 5x - 30
3x = 24
x = 8
Tuổi của em là 8, tuổi của anh là 2 * 8 = 16. Tổng số tuổi của 2 anh em hiện nay là 8 + 16 = 24.

Câu 6: Diện tích hình tròn được tính bằng công thức S = πr^2, trong đó r là bán kính hình tròn. Giảm đường kính đi 20% tương đương với giảm bán kính đi 10%. Diện tích giảm đi 113,04 cm^2 tương đương với diện tích ban đầu là 113,04 / 0.1 = 1130.4 cm^2. Vậy diện tích ban đầu là π * r^2 = 1130.4 cm^2. Từ đó, ta có r^2 = 1130.4 / π và diện tích ban đầu là 1130.4 cm^2.

Câu 7: Số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân và lớn hơn 24 và nhỏ hơn 25 là 24.01, 24.02, 24.03, ..., 24.99. Có tổng cộng 99 số thập phân thỏa mãn điều kiện đó.

Câu 8: Để chia 126 cho một số tự nhiên a và được số dư là 25, ta có phép chia như sau: 126 = a * q + 25, trong đó q là số nguyên thương. Điều này tương đương với a * q = 101. Vậy số a có thể là 1 hoặc 101.

Câu 9: Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện đó, ta sử dụng thuật toán Euclid mở rộng. Gọi x là số tự nhiên cần tìm. Ta có hệ phương trình:
x ≡ 5 (mod 29)
x ≡ 28 (mod 31)
Giải hệ phương trình này, ta được x = 823.

Câu 10: Số 154 có các ước số là 1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154. Tập hợp ước của 154 là {1, 2, 7, 11, 14, 22, 77, 154}. Số tập hợp con của tập hợp này là 2^8 = 256.

Câu 11: Khi chia một số tự nhiên cho 4, số dư có thể là 0, 1, 2 hoặc 3. Vì trong trường hợp này số dư là 2, nên số dư trong phép chia số tự nhiên đó cho 2 cũng là 2.

Câu 12: Gọi số lớn là x, số bé là y. Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
x + y = 102
10y + x = 417
Giải hệ phương trình này, ta được x = 317 và y = 102 - x = 102 - 317 = -215. Vì y là số bé, nên không thể có giá trị âm. Vậy không có số lớn thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 13: Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y. Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
x/y = 7/12
(x + 10)/(y + 10) = 3/4
Giải hệ phương trình này, ta được x = 35 và y = 60. Tổng của hai số là x + y = 35 + 60 = 95.

Câu 14: Để tìm số nguyên tố P sao cho P + 2 và P + 4 cũng là số nguyên tố, ta kiểm tra từng số nguyên tố lẻ P. Ta thấy P = 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy P = 3.