Để tìm số nguyên tố n thỏa mãn điều kiện 3n+10 chia hết cho 3n+1, ta sẽ giải phương trình sau:

(3n+10) % (3n+1) = 0

Trong đó, "%" là phép chia lấy phần dư.

Ta có:

(3n+10) % (3n+1) = (3n+10) - (3n+1) * (3n+10) / (3n+1)
= (3n+10) - (3n+1) * (3n+10 - 9n - 1) / (3n+1)
= (3n+10) - (3n+1) * (9 - 9n) / (3n+1)
= (3n+10) - (9 - 9n)
= 19n + 1

Để phương trình trên có nghiệm nguyên tố, ta cần tìm một số nguyên tố p sao cho 19n + 1 chia hết cho p.

Tuy nhiên, không có một số nguyên tố p nào thỏa mãn điều kiện trên. Vì vậy, không tồn tại số nguyên tố n thỏa mãn yêu cầu đề bài.