Cho (P): y = x ^ 2 và (d): y = 2x + m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi

Để tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt đường parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B, ta cần giải hệ phương trình giữa (P) và (d).

Đường parabol (P) có phương trình y = x^2.
Đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + m.

Để tìm điểm cắt giữa (P) và (d), ta thay y của (P) vào phương trình của (d):

x^2 = 2x + m.

Đây là một phương trình bậc hai. Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện delta (Δ) của phương trình lớn hơn 0.

Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m.

Để Δ > 0, ta có:

4 - 4m > 0,
4m < 4,
m < 1.

Vậy, m phải nhỏ hơn 1 để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

Để tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi, ta cần tìm tọa độ của A và B.

Đường parabol (P) có phương trình y = x^2.
Đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + m.

Để tìm tọa độ của A và B, ta giải hệ phương trình giữa (P) và (d):

x^2 = 2x + m.

Để giải phương trình này, ta chuyển về dạng bậc hai:

x^2 - 2x - m = 0.

Giải phương trình này, ta có:

x = (2 ± √(4 + 4m)) / 2
x = 1 ± √(1 + m).

Từ đó, ta có tọa độ của A và B:

A: (1 + √(1 + m), (1 + √(1 + m))^2)
B: (1 - √(1 + m), (1 - √(1 + m))^2).

Để tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi, ta tính trung điểm của hai tọa độ A và B:

I = ((1 + √(1 + m)) + (1 - √(1 + m))) / 2, (((1 + √(1 + m))^2 + (1 - √(1 + m))^2) / 2).

Simplifying the expression for I, we have:

I = 1.

Vậy, quỹ tích trung điểm I của AB không thay đổi khi m thay đổi.