a) Ta có AB = AC và M là trung điểm của BC, suy ra AM là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có AM = BM = CM.

Vì AM = BM, góc BAM = góc BMA (cùng là góc nhọn).
Vì AM = CM, góc CAM = góc CMA (cùng là góc nhọn).

Từ đó, ta có hai tam giác ABM và ACM bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc (GCG).

Tiếp theo, ta chứng minh AM vuông góc BC.
Vì AB = AC, góc BAC = góc BCA (cùng là góc nhọn).
Vì AB = AC và M là trung điểm của BC, ta có BM = CM.
Vì hai tam giác ABM và ACM bằng nhau, ta có góc BAM = góc CAM.

Từ đó, ta có góc BAC = góc BAM + góc CAM = góc BMA + góc CMA = góc BMC.

Vậy, AM vuông góc BC.

b) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BC tại E.
Vì DF = DE, ta có góc DFE = góc DEF (cùng là góc nhọn).
Vì DE // AF, ta có góc DFE = góc ADF (cùng là góc nhọn).

Từ đó, ta có góc DEF = góc ADF.

Vì hai tam giác ADF và CDE có hai góc bằng nhau, ta có ADF = CDE.

Từ đó, ta có Tam giác ADF = Tam giác CDE.

Do đó, ta có AF // EC.

c) Từ C dựng đường thẳng vuông góc với AC, cắt AE tại G.
Vì CG // AB và CG = AB/2 (do M là trung điểm của BC), ta có tam giác CGA là tam giác đồng dạng với tam giác BAC và tỉ lệ giữa các cạnh là 1:2.

Vì tam giác CGA đồng dạng với tam giác BAC, ta có Tam giác BAD = Tam giác ACG.

d) Vì hai tam giác ABM và ACM bằng nhau, ta có BM = CM.
Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC = CG.

Từ đó, ta có AB = 2CG.