Cho tam giác DEF có 3 đường trung tuyến

Để chứng minh a) và b), ta cần vẽ hình như sau:

1. Vẽ tam giác DEF và các đường trung tuyến DM, EN, FP. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh DE, EF, FD.

2. Vẽ tia đối của tia GD, cắt đường trung tuyến DM tại M' và cắt đường trung tuyến EN tại N'.

3. Vẽ tia đối của tia GQ, cắt đường trung tuyến DM tại M'' và cắt đường trung tuyến EN tại N''.

4. Vẽ đường thẳng qua E song song với DM, cắt đường trung tuyến FP tại P'.

5. Vẽ đường thẳng qua E song song với GQ, cắt đường trung tuyến FP tại P''.

6. Chứng minh a):

- Ta có DM // EQ (do DM là đường trung tuyến của tam giác DEF, nên DM = 2EI, và GQ = GD = 2DM = 4EI, suy ra GQ = 2EQ).
- Ta có EN // GQ (do EN là đường trung tuyến của tam giác DEF, nên EN = 2FJ, và GQ = GD = 2EN = 4FJ, suy ra GQ = 2EQ).
- Ta có FP // EG (do FP là đường trung tuyến của tam giác DEF, nên FP = 2DK, và EG = EF = 2FP = 4DK, suy ra EG = 2GQ).

Vậy EG, GQ, QE của tam giác EGQ là 2/3 các đường trung tuyến của tam giác DEF.

7. Chứng minh b):

- Ta có GK // DE (do GK là đường trung tuyến của tam giác EGQ, nên GK = 2IM'', và DE = 2DI, suy ra GK = DE).
- Ta có EM // EF (do EM là đường trung tuyến của tam giác EGQ, nên EM = 2FJ, và EF = 2EJ, suy ra EM = EF).
- Ta có QH // FD (do QH là đường trung tuyến của tam giác EGQ, nên QH = 2DK, và FD = 2DF, suy ra QH = FD).

Vậy các đường trung tuyến GK, EM, QH của tam giác EGQ lần lượt bằng nửa các cạnh DE, EF, FD của tam giác DEF.