Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) ( AB < AC). Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại D. Vẽ dây cung AE song song với BC. Đường thẳng ED cắt đường tròn (O) tại E và K. Chứng minh tứ giác OCDB nội tiếp ..

1) Ta có:
- Góc BDC và góc BAC cùng nằm trên cùng một dây BC nên góc BDC = góc BAC.
- Góc BOC và góc BAC cùng nằm trên cùng một dây BC nên góc BOC = góc BAC.
Do đó, góc BDC = góc BOC.
Từ đó, ta có tứ giác OCDB nội tiếp trong một đường tròn.

2) Ta có:
- Góc BDC và góc BAC cùng nằm trên cùng một dây BC nên góc BDC = góc BAC.
- Góc BKC và góc BAC cùng nằm trên cùng một dây BC nên góc BKC = góc BAC.
Do đó, góc BDC = góc BKC.
Từ đó, ta có tứ giác BKDC nội tiếp trong một đường tròn.
Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác BKDC, ta có:
BD * KC + DC * KB = BK * DC
Vì BD và DC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên BD = DC.
Vậy, ta có: 2 * BD * KC = BK * BD
Simplifying, ta có: KC = BK / 2
Tương tự, ta có: KB = CK / 2
Do đó, ta có: BK CK AC AB = 3.

3) Ta có:
- Góc BDC và góc BAC cùng nằm trên cùng một dây BC nên góc BDC = góc BAC.
- Góc BKC và góc BAC cùng nằm trên cùng một dây BC nên góc BKC = góc BAC.
Do đó, góc BDC = góc BKC.
Từ đó, ta có tứ giác BKDC nội tiếp trong một đường tròn.
Áp dụng định lý góc nội tiếp, ta có:
Góc BKC = góc BDC = góc BOC
Vậy, ta có: BC // OK.
Tương tự, ta có: BC // OD.
Do đó, các đường thẳng BC, OD và AK đồng quy.