Chứng minh A’ và H đối xứng nhau qua BC

A, cm a’ và h đối xứng nhau qua bc:

Vì a’ là điểm thứ hai mà đường thẳng ad cắt đường tròn tâm o, nên ta có:
∠a’od = ∠adc (cùng nằm ở cùng một cung ad trên đường tròn)
∠a’do = ∠acd (cùng nằm ở cùng một cung ad trên đường tròn)

Vì ad và be là hai đường cao của tam giác abc, nên ta có:
∠adc = ∠bec (do cùng là góc vuông)
∠acd = ∠bce (do cùng là góc vuông)

Từ đó, ta có:
∠a’od = ∠bec
∠a’do = ∠bce

Vậy a’ và h đối xứng nhau qua bc.

B, gọi k là điểm đối xứng của a qua o. Cm tứ giác bhck là hình bình hành:

Ta có:
∠bhc = ∠bha + ∠ahc (định lí tổng góc trong tam giác)
∠bhc = ∠bca + ∠acb (do ah song song với bc)
∠bhc = ∠bca + ∠bca (do tam giác abc cân tại c)
∠bhc = 2∠bca

Tương tự, ta có:
∠bck = 2∠acb

Vậy tứ giác bhck là hình bình hành.

C, gọi g là trọng tâm của tam giác abc. Cm điểm h, g, o thẳng hàng:

Ta biết rằng trọng tâm g của tam giác abc chia đường cao ad theo tỉ lệ 2:1, nghĩa là:
gd = 2gh

Vì a’ và h đối xứng nhau qua bc, nên ta có:
∠a’od = ∠bec
∠a’do = ∠bce

Từ đó, ta có:
∠a’od + ∠a’do = ∠bec + ∠bce
2∠a’od = ∠bec + ∠bce
2∠a’od = ∠bce + ∠bec (do ∠bec = ∠bce)
2∠a’od = 2∠bce

Vậy ∠a’od = ∠bce.

Do đó, ta có:
∠a’od = ∠bce = ∠bca + ∠acb (do ah song song với bc)
∠a’od = ∠bca + ∠bca (do tam giác abc cân tại c)
∠a’od = 2∠bca

Vậy ∠a’od = 2∠bca.

Vì gd = 2gh, nên ta có:
∠gdo = ∠ghc (do cùng nằm ở cùng một cung gd trên đường tròn)
∠gdo = ∠ghb (do cùng nằm ở cùng một cung gd trên đường tròn)

Từ đó, ta có:
∠gdo + ∠goh = ∠ghc + ∠ghb
∠gdo + ∠goh = ∠ghb + ∠ghc (do ∠ghb = ∠ghc)
∠gdo + ∠goh = 2∠ghc

Vậy ∠gdo = 2∠ghc.

Từ hai kết quả trên, ta có:
∠a’od = 2∠bca = ∠gdo

Vậy điểm h, g, o thẳng hàng.