Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

Định lí 1: Trong một tam giác vuông, đường cao chính là đường trung tuyến.

Định lí 2: Trong một tam giác vuông, đường cao chính là đường trung trực của cạnh huyền.

Định lí 3: Trong một tam giác vuông, trung điểm của cạnh huyền nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Định lí 4: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng hai góc đối diện bằng 180 độ.

Định lí 5: Hai đường cao của một tam giác cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bây giờ ta sẽ chứng minh từng phần:

1) Chứng minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp:
Ta có:
- Góc BAC = 90 độ (do tam giác ABC nhọn và BE là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BHC = 180 - Góc BAC = 180 - 90 = 90 độ (do tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp)
- Góc BEC = Góc BHC = 90 độ (do đường cao BE và CF cắt nhau tại H)
- Góc BFC = Góc BEC = 90 độ (do đường cao BE và CF cắt nhau tại H)
=> Tứ giác BCEF nội tiếp.

2) Chứng minh rằng góc BKM = góc BAC:
Ta có:
- Góc BAC = 90 độ (do tam giác ABC nhọn và BE là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BKC = 180 - góc BHC = 180 - 90 = 90 độ (do tứ giác BCEF nội tiếp)
- Góc BKM = góc BKC (cùng chắn cung BM trên đường tròn (O))
=> Góc BKM = góc BAC.

3) Chứng minh rằng ba điểm M, H, I thẳng hàng:
Ta có:
- Góc BAC = 90 độ (do tam giác ABC nhọn và BE là đường cao của tam giác ABC)
- Góc BHC = 180 - Góc BAC = 180 - 90 = 90 độ (do tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp)
- Góc BIC = 180 - góc BHC = 180 - 90 = 90 độ (do I là trung điểm của BC)
- Góc BKM = góc BAC (do đã chứng minh ở phần 2)
=> Góc BIC = góc BKM
=> Ba điểm M, H, I thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần trên.