Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các định lí sau đây:

Định lí 1: Trong một tam giác nhọn, đường cao cắt nhau tại một điểm nằm trong tam giác.

Định lí 2: Trong một tam giác nhọn, đường cao cắt đường trung trực tại một điểm nằm ngoài tam giác.

Định lí 3: Trong một tam giác nhọn, đường cao và đường trung trực cắt nhau tại trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh của tam giác.

Định lí 4: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối diện bằng 180 độ.

Định lí 5: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng hai góc ở đỉnh bằng 180 độ.

Bây giờ ta sẽ chứng minh từng phần:

1) Ta cần chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp. Ta sẽ chứng minh tứ giác BCEF có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ.

Gọi G là giao điểm của BF và CE. Ta có:

Góc BGF = Góc BCF (do BF // AC)
Góc CEG = Góc CBG (do CE // AB)

Vì tứ giác ABCG nội tiếp (do góc BGC = góc BAC), nên tổng hai góc BCF và CBG bằng 180 độ (định lí 4).

Tương tự, ta có:

Góc BEF = Góc BCF (do EF // BC)
Góc CFE = Góc CBG (do EF // BC)

Vậy tổng hai góc BEF và CFE cũng bằng 180 độ.

Do đó, tứ giác BCEF nội tiếp (định lí 5).

2) Ta cần chứng minh góc KAO bằng góc KMO.

Gọi N là giao điểm của KA và BC. Ta có:

Góc KAO = Góc KAN (do AO // BC)
Góc KMO = Góc KMN (do M là điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác KAN)

Vậy góc KAO bằng góc KMO.

3) Ta cần chứng minh ba điểm M, H, I thẳng hàng.

Gọi P là giao điểm của AH và BC. Ta có:

Góc HPA = Góc HCA (do AH // BC)
Góc HFA = Góc HCA (do BCEF nội tiếp)

Vậy góc HPA bằng góc HFA.

Tương tự, ta có:

Góc HEP = Góc HBA (do AH // BC)
Góc HEB = Góc HBA (do BCEF nội tiếp)

Vậy góc HEP bằng góc HEB.

Do đó, tứ giác HPAE và HBEF đồng dạng (do có hai góc bằng nhau).

Vì vậy, tứ giác HPAE và HBEF có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ (định lí 4).

Từ đó, ta suy ra tứ giác HPAE và HBEF nội tiếp.

Vậy, ta có H là trung điểm của EF (do đường cao cắt nhau tại H).

Từ định lí 3, ta có ba điểm M, H, I thẳng hàng.