Cho tam giác ABC nhọn (AB

Để chứng minh K thuộc đường tròn (O), ta cần chứng minh AK là đường cao của tam giác ABC.

Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
∠BAD = 90° - ∠BAC = ∠ACB (1)

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên ta có:
∠BAC = ∠BOC (2)

Từ (1) và (2), ta có:
∠BAD = ∠BOC

Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác OBC (theo góc).

Do đó, ta có:
∠ABD = ∠OBC (3)

Tương tự, ta cũng có:
∠ACD = ∠OBC (4)

Từ (3) và (4), ta có:
∠ABD = ∠ACD

Vậy tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACD (theo góc).

Do đó, ta có:
∠ADB = ∠ADC

Vậy tam giác ADB đồng dạng với tam giác ADC (theo góc).

Từ đó, ta có:
∠ADB = ∠ADC = 90°

Vậy AK là đường cao của tam giác ABC.

Tiếp theo, ta cần chứng minh ME vuông góc với AP.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có:
BM = MC

Vì K là điểm đối xứng của H qua M, nên ta có:
MK = MH

Vậy tam giác MKH là tam giác cân.

Do đó, ta có:
∠MKH = ∠MHK

Vì AK là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
∠AKH = 90°

Từ đó, ta có:
∠MKH = ∠MHK = 90°

Vậy ME vuông góc với AP.

Từ đó, ta có:
∠MEP = 90°

Vậy K thuộc đường tròn (O) và ME vuông góc với AP.