Để chứng minh rằng tổng của hai số nguyên tố p và p+2 chia hết cho 12, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh theo phản chứng.

Giả sử tổng của hai số nguyên tố p và p+2 không chia hết cho 12. Điều này có nghĩa là tổng của chúng không chia hết cho 2 hoặc không chia hết cho 3.

Nếu tổng của hai số nguyên tố không chia hết cho 2, thì một trong hai số p hoặc p+2 phải là số lẻ. Nhưng số nguyên tố lớn hơn 2 luôn là số lẻ, vì vậy p và p+2 đều là số lẻ. Tuy nhiên, không thể có hai số lẻ liên tiếp là số nguyên tố, vì số chẵn kế tiếp số lẻ luôn chia hết cho 2 và không phải là số nguyên tố. Điều này mâu thuẫn với giả định ban đầu, vì vậy tổng của hai số nguyên tố p và p+2 phải chia hết cho 2.

Nếu tổng của hai số nguyên tố không chia hết cho 3, thì tổng đó phải là 1 hoặc 2 modulo 3. Ta xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tổng của hai số nguyên tố là 1 modulo 3. Nếu p là 1 modulo 3, thì p+2 là 0 modulo 3. Nhưng số nguyên tố lớn hơn 3 không thể chia hết cho 3, vì vậy p không thể là 1 modulo 3. Tương tự, nếu p+2 là 1 modulo 3, thì p phải là 0 modulo 3, nhưng số nguyên tố lớn hơn 3 không thể chia hết cho 3. Vì vậy, tổng của hai số nguyên tố không thể là 1 modulo 3.

- Trường hợp 2: Tổng của hai số nguyên tố là 2 modulo 3. Nếu p là 2 modulo 3, thì p+2 là 1 modulo 3. Nhưng số nguyên tố lớn hơn 3 không thể chia hết cho 3, vì vậy p không thể là 2 modulo 3. Tương tự, nếu p+2 là 2 modulo 3, thì p phải là 1 modulo 3, nhưng số nguyên tố lớn hơn 3 không thể chia hết cho 3. Vì vậy, tổng của hai số nguyên tố không thể là 2 modulo 3.

Từ cả hai trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng tổng của hai số nguyên tố p và p+2 không thể là 1 hoặc 2 modulo 3.

Vì vậy, giả định ban đầu là sai. Tổng của hai số nguyên tố p và p+2 phải chia hết cho 12.