Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác cân và tam giác vuông.

1. Chứng minh BH = CH:
- Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Vì AH là đường trung tuyến, nên BH = CH.

2. Chứng minh AMN cân:
- Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Vì AH là đường trung tuyến, nên AM = MC.
- Ta có HM vuông góc AB tại M, nên tam giác HMN vuông tại M.
- Vì AM = MC và HM = MN (vì HM vuông góc AB tại M), nên ta có tam giác AMN cân.

3. Chứng minh ba điểm N, H, I thẳng hàng:
- Ta có tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường cao và cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Gọi P là giao điểm của MH với AC và Q là giao điểm của NH với AB.
- Vì AH là đường trung tuyến, nên AP = PC và AQ = QB.
- Ta có I là trung điểm của PQ, nên IP = IQ.
- Vì MP // AC (do MH là đường cao), nên ta có MP = AP = PC.
- Vì NQ // AB (do NH là đường cao), nên ta có NQ = AQ = QB.
- Vì MP = PC và NQ = QB, nên ta có MP = NQ.
- Vì IP = IQ và MP = NQ, nên ta có tam giác IMP = tam giác INQ (theo tính chất cạnh bằng cạnh và cạnh chung).
- Vì tam giác IMP = tam giác INQ, nên góc MPI = góc NQI.
- Vì MP // AC và NQ // AB, nên góc MPI = góc NQI = góc A.
- Vì góc MPI = góc NQI = góc A, nên ta có tam giác MPI = tam giác NQI = tam giác AHI (theo tính chất góc bằng góc).
- Vì tam giác MPI = tam giác NQI = tam giác AHI, nên ta có I là trung điểm của AH (do I là trung điểm của PQ).
- Vì I là trung điểm của AH, nên ta có ba điểm N, H, I thẳng hàng.