a) Ta có DC = 2DA = 2a. Gọi M là trung điểm của AB, ta có MI = MA = MB = a.
Vì IH vuông góc với AB và I là trung điểm của DC, nên IH cắt AB tại trung điểm của AB, ký hiệu là N.
Khi đó, ta có:
DE // AB (do DE và AB cùng vuông góc với DC)
Và DE = 2DN (do DE và DN cùng vuông góc với DC)
Do đó, ta có tỉ số DE/EH = DN/NH = AD/AH (vì DN = AD và NH = AH)
Vậy ta chứng minh được DE/EH = AD/AH.

b) Gọi O là giao điểm của AI và BH.
Ta có:
∆AIO ~ ∆BHO (do cả hai đều vuông góc với AB và có góc AIO = góc BHO = 90°)
Vậy ta có tỉ số AI/OB = AO/OH (1)
Vì ∆AIO ~ ∆DHO (do cả hai đều vuông góc với DH và có góc AIO = góc DHO = 90°)
Nên ta có tỉ số AI/OH = AO/HD (2)
Từ (1) và (2), ta có tỉ số AI/OB = AO/HD
Tương tự, ta có tỉ số BI/OA = BO/HD
Do đó, ta có tỉ số AI/OB + BI/OA = AO/HD + BO/HD = (AO + BO)/HD = AB/HD = 1/h (vì AB = h)
Vậy ta chứng minh được 1/h^2 = 1/AI^2 + 1/BI^2.

c) Gọi P là giao điểm của DC và AB.
Ta có góc ADC = 30°, nên góc DPC = 180° - góc ADC = 150°.
Vì DP // AI (do cả hai đều vuông góc với AB), nên góc DPC = góc DAI = 150°.
Vậy ta có góc DAI = 150°.
Do đó, ta có:
∆DAI là tam giác cân tại I (vì AI = DI)
Và góc AID = 180° - 2 * góc DAI = 180° - 2 * 150° = 120°.
Vậy ta có góc AID = 120°.
Áp dụng định lý cosin trong tam giác AID, ta có:
AI^2 = AD^2 + ID^2 - 2 * AD * ID * cos(góc AID)
= a^2 + a^2 - 2 * a * a * cos(120°)
= a^2 + a^2 + 2 * a^2 * cos(120°)
= 3a^2 + 2 * a^2 * (-1/2)
= 3a^2 - a^2
= 2a^2.
Vậy ta có IA = √(2a^2) = a√2.
Vậy IA = a√2.