a) Ta có:
- Góc EHD = Góc ECD (do CEHD nội tiếp đường tròn)
- Góc ECD = Góc BCD (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn)
- Góc BCD = Góc BAD (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn)
Vậy ta có: Góc EHD = Góc BAD
Do đó, tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn.

b) Ta có:
- Góc BCF = Góc BAF (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn)
- Góc BAF = Góc BEF (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn)
Vậy ta có: Góc BCF = Góc BEF
Do đó, 4 điểm B, C, E, F cùng nằm trên 1 đường tròn.

c) Ta có:
- Góc AEC = Góc ABC (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn)
- Góc AEC = Góc AHC (do tam giác AEH cân tại E)
Vậy ta có: Góc ABC = Góc AHC
Do đó, AE.AC = AH.AD

- Góc ADB = Góc ABC (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn)
- Góc ADB = Góc BEC (do tam giác ABE cân tại B)
Vậy ta có: Góc ABC = Góc BEC
Do đó, AD.BC = BE.AC

d) Ta có:
- Góc BCF = Góc BAF (do tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn)
- Góc BAF = Góc BAH (do tam giác ABH cân tại B)
Vậy ta có: Góc BCF = Góc BAH
Do đó, H và M đối xứng nhau qua BC.

e) Để xác định tâm đường tròn nội tam giác BEF, ta cần biết tọa độ của các đỉnh B, E, F.