a) Ta có tam giác ABC vuông cân tại A, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, M là trung điểm của cạnh BC.
Khi đó, ta có BM = MC và AM = MA (do M là trung điểm của BC và AM là đường trung tuyến), nên tam giác BMA và CMA là tam giác đẳng cấu.
Vậy, ta có ∠BAM = ∠CAM và ∠BMA = ∠CMA.
Do đó, ta có ∠BAH = ∠CAK (do BH và AK là đường vuông góc với AD).
Vì ∠BAM = ∠CAM, nên ta có ∠BAH = ∠CAK = 90°.
Vậy, ta có BH = AK.

b) Ta có ∠BAH = ∠CAK = 90° (do BH và AK là đường vuông góc với AD).
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên ta có ∠BAC = 45°.
Do đó, ta có ∠BAH = ∠CAK = 90° - ∠BAC = 90° - 45° = 45°.
Vậy, ta có ∠BAH = ∠CAK = ∠BAC.
Do đó, ta có ∠BAH = ∠CAK = ∠BAC = ∠BDC (do BH và AK là đường vuông góc với AD).
Vậy, ta có BH || DC và AK || BD.
Do đó, ta có ∠HDI = ∠BDC = ∠BAH và ∠IDH = ∠BAC = ∠CAK.
Vậy, ta có ∆HDI và ∆BAH là hai tam giác đồng dạng (có hai góc tương đương nhau).
Do đó, ta có HD/BA = ID/AH (theo định lí đồng dạng tam giác).
Vậy, ta có HD/AK = ID/AM (do AH = AM).
Vậy, ta có ∆HDI và ∆AKM là hai tam giác đồng dạng (có hai cặp cạnh tương tự nhau).
Do đó, ta có ∠HDI = ∠AKM và ∠IDH = ∠AMK.
Vậy, ta có ∠HDI = ∠AKM và ∠IDH = ∠AMK = ∠KMC (do KM là đường phân giác của HKC).
Vậy, ta có ∆HDI và ∆KMC là hai tam giác đồng dạng (có hai góc tương đương nhau).
Do đó, ta có HD/KM = ID/MC (theo định lí đồng dạng tam giác).
Vậy, ta có HD/KM = ID/MC = AD/AC (do MC = AD).
Vậy, ta có DI || KM (do HD/KM = ID/MC).

c) Ta đã chứng minh trong b) rằng ∆HDI và ∆KMC là hai tam giác đồng dạng (có hai góc tương đương nhau).
Do đó, ta có ∠HDI = ∠KMC.
Vậy, ta có KM là đường phân giác của HKC.