Để chứng minh các phần trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và các trung tuyến trong tam giác.

a. Ta có BHI là tam giác vuông tại H với BH = HI (do H là trực tâm của tam giác ABE và I là trung điểm của BC), và CKI là tam giác đều với CK = KI. Do đó, ta có BHI = CKI.

b. Góc AHF = 60 độ (vì tam giác ABE là tam giác đều) và góc KCF = 60 độ (vì tam giác ACF là tam giác đều). Do đó, góc AHF = góc KCF.

c. Ta có tam giác KHF là tam giác đều vì KH = KI = HF.

d. Ta có IF = 5cm, với BH = HI = 5cm (do H là trực tâm của tam giác ABE và I là trung điểm của BC). Vậy FHI là tam giác vuông tại H, và ta có HF = 5cm.