Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H ∈ BC)

a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên tam giác AHM vuông tại M. Do đó, AM là đường trung tuyến của tam giác AHC, suy ra AH = AM.

Vậy, ta có tam giác AHC và tam giác AMC cùng có cạnh AH và AM bằng nhau, nên chúng đồng dạng. Từ đó, ta suy ra góc AHC = góc AMC.

Như vậy, ta có góc AHC = góc AMC = 90 độ, nên các điểm A, M, C, H cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có góc AHC = góc AMC = 90 độ, nên tam giác AHC và tam giác AMC đều vuông tại M.

Kẻ đường kính MD của đường tròn (A), ta có AM là đường trung tuyến của tam giác AHC, nên AM song song với HD và AM = MH.

Do đó, tam giác AHD và tam giác AMH đồng dạng, suy ra AI/AC = AM/AH = MH/AH.

Từ đó, ta có AI.AC = MH.AH = HB.HC.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng BD là tiếp tuyến của đường tròn (A) và HB.HC = AI.AC.