a) Ta có:
\(\angle AHE = 90^\circ\) (vì AB vuông góc với MN tại H)
\(\angle AKH = 90^\circ\) (vì AK là dây cung)
Do đó, tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
\(\angle ACE = \angle AKE\) (cùng chắn cung AK)
\(\angle CHE = \angle KHE\) (cùng chắn cung KH)
Do đó, tứ giác ACEH và tứ giác KHEC đồng dạng.
Từ đó, ta có: \(\frac{CA}{CE} = \frac{CH}{CK}\)
\(CA.CK = CE.CH\)

c) Ta có:
\(\angle NFK = 90^\circ\) (vì NF vuông góc với AC)
\(\angle NKF = \angle NKA = \angle NEA\) (cùng chắn cung AK)
Do đó, tam giác NKF là tam giác cân.

d) Khi KE = KC, ta có:
\(\angle KCE = \angle KEC\)
\(\angle KCE = \angle KHE\) (cùng chắn cung KH)
\(\angle KEC = \angle AKE\) (cùng chắn cung AK)
Do đó, tứ giác AHEK là tứ giác cân.
Từ đó, ta có: \(\angle KHE = \angle AHE\)
\(OK \parallel MN\) (do cùng vuông góc với AH)