Cho tam giác đều ABC có đường cao BH

Gọi M là trung điểm của BC, ta có BM = MC = 1/2 BC.
Vì tam giác ABC đều nên ta có BM ⊥ AC và CM ⊥ BC.
Do đó, ta có BM ⊥ CE và CM ⊥ BD.
Khi đó, ta có tứ giác BEMC là hình chữ nhật với BM = CE và CM = BE.
Vậy, ta có BM = CE = 1/3 CA = 1/3 BC.
Tương tự, ta có CM = BD = 1/3 BC.
Do đó, ta có BM = CM = BD = CE.

Gọi N là trung điểm của AC, ta có AN = NC = 1/2 AC.
Vì tam giác ABC đều nên ta có AN = NC = 1/2 AC = 1/2 BC.
Do đó, ta có AN = NC = BM = CM = BD = CE.
Khi đó, ta có tứ giác AENC là hình chữ nhật với AN = CE và NC = AE.
Vậy, ta có AN = CE = 1/3 CA = 1/3 BC.
Tương tự, ta có NC = BD = 1/3 BC.
Do đó, ta có AN = NC = BD = CE.

Vậy ta có tứ giác AENC là hình vuông với AN = NC = BD = CE.
Khi đó, ta có AE = NC = 1/3 BC và CE = 1/3 CA.
Ta có tứ giác AEC đồng dạng với tứ giác ABC với tỉ lệ 1:3.
Vậy, ta có AE = 1/3 AC = 1/9 BC và CE = 1/3 CA = 1/9 BC.
Do đó, ta có AE = CE.

Gọi G là trung điểm của DE, ta có AG = GC = 1/2 DE.
Vì tam giác AEC đồng dạng với tam giác ABC nên ta có AG = GC = 1/2 DE = 1/2 BC.
Do đó, ta có AG = GC = 1/2 DE = 1/2 BC = 1/6 AC.
Vậy, ta có AG = GC = 1/6 AC.

Gọi H là trung điểm của AI, ta có AH = HI = 1/2 AI.
Vì tam giác AEC đồng dạng với tam giác ABC nên ta có AH = HI = 1/2 AI = 1/2 AC.
Do đó, ta có AH = HI = 1/2 AI = 1/2 AC = 1/6 BC.
Vậy, ta có AH = HI = 1/6 BC.

Ta có BD = CE = 1/3 BC, AG = GC = 1/6 AC và AH = HI = 1/6 BC.
Do đó, ta có BD = 2AG và AH = 2HI.
Vậy, ta có tứ giác BDHI là hình bình hành.
Khi đó, ta có BD = HI và DI = BH.
Vậy, ta có BD^2 = DI × DA.

Gọi x là số đo góc CAK, ta có:
x + ∠ACK = 60° (vì tam giác ABC đều)
x + 90° = 60°
x = 30°
Vậy, số đo góc CAK là 30°.