Cho tam giác đều ABC có đường cao BH

Để chứng minh BD^2 = DI × DA, ta sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC:

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với đường chéo BD, ta có:

\(\frac{CE}{EA} \times \frac{AI}{IB} \times \frac{BD}{DC} = 1\)

Do CE = 1/3 CA và DC = 2/3 CA, ta có:

\(\frac{1}{1} \times \frac{AI}{IB} \times \frac{BD}{2} = 1\)

\(AI = \frac{IB}{2}\)

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với đường chéo CE, ta có:

\(\frac{BD}{DC} \times \frac{CK}{KI} \times \frac{AE}{EB} = 1\)

Do BD = 1/3 BC và DC = 2/3 BC, ta có:

\(\frac{1}{2} \times \frac{CK}{KI} \times \frac{2}{1} = 1\)

\(CK = KI\)

Vậy ta có CK = KI = 1/2 CI.

Xét tam giác CDI vuông tại D, ta có:

\(BD^2 = CD^2 + BC^2 = CD^2 + 9CD^2 = 10CD^2\)

\(DI = CD \times \sqrt{2}\)

\(DA = CD \times \sqrt{10}\)

Do đó, \(BD^2 = 10CD^2 = 10 \times DI \times DA = DI \times DA\)

Để tính số đo góc CAK, ta xét tam giác ACK:

\(AK^2 = AC^2 + CK^2 = AC^2 + \frac{1}{4}CI^2\)

\(CK = \frac{1}{2}CI\)

\(AK^2 = AC^2 + \frac{1}{4}CI^2 = AC^2 + \frac{1}{4} \times 4AC^2 = AC^2 + AC^2 = 2AC^2\)

\(AK = AC \times \sqrt{2}\)

Vậy góc CAK = góc ACK = 45 độ.