Để chứng minh rằng 2n+5 và 3n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta giả sử ngược lại là chúng không nguyên tố cùng nhau, tức là chúng có ước chung lớn hơn 1.

Giả sử m là ước chung của 2n+5 và 3n+7, ta có:

2n+5 ≡ 0 (mod m) và 3n+7 ≡ 0 (mod m)

Từ đó suy ra:

2n ≡ -5 (mod m) và 3n ≡ -7 (mod m)

Nhân cả hai vế của phương trình đầu tiên với 3 và phương trình thứ hai với 2, ta được:

6n ≡ -15 (mod m) và 6n ≡ -14 (mod m)

Do đó, -15 ≡ -14 (mod m), suy ra m | 1, điều này là không thể vì m là ước chung của 2n+5 và 3n+7.

Vậy nên, giả sử ban đầu là sai, tức là 2n+5 và 3n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau.