Cho tam giác abc nhọn nội tiếp đường tròn tâm o có AH vuông góc BC từ H kẻ HM vuông góc BC, HN vuông góc BC

Để chứng minh góc ANM = góc ABC và AM.AB=AN.AC, ta có:

Gọi I là giao điểm của MN và BC.

Ta có: góc ANM = góc AHI (do NM song song với HI và AN vuông góc với NM)
= góc ABC (do tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O))

Ta có: góc AHI = góc AHB = góc ACB (do tam giác AHB và ACB cùng nội tiếp trong đường tròn (O))

Vậy góc ANM = góc ABC.

Tiếp theo, ta có: góc ANM = góc ABC = góc AIC (do tam giác AIC cùng nội tiếp trong đường tròn (O))

Vậy ta có: AM/AN = sin góc ANM/sin góc AIC = sin góc ABC/sin góc ACB = AB/AC

Vậy AM.AB = AN.AC

Để chứng minh tia MN cắt đường tròn (O) tại D sao cho tam giác AHD cân, ta có:

Gọi D là giao điểm của tia MN và đường tròn (O).

Ta có: góc ANM = góc ABC = góc AIC = góc AID (do tam giác AIC và AID cùng nội tiếp trong đường tròn (O))

Vậy tam giác AHD cân tại D.

Như vậy, ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.