a) Ta có tam giác \(ABM\) và \(NBM\) là hai tam giác có cạnh chung \(BM\). \(ABM\) và \(NBM\) có góc vuông tại \(B\), và chúng cũng chứa góc \(MBC\) và \(MBN\) tương ứng, vì \(BM\) là đường phân giác của góc \(ABC\). Do đó, theo góc định lí, chúng có cặp góc tương đồng. Hơn nữa, \(BM\) là đoạn trung trực của \(MN\), vì \(MN\) là đường phân giác của góc \(ABC\), nên \(BM\) cũng là đoạn trung trực của \(MN\). Vậy, theo góc phụ, ta có \(ABM \cong NBM\) (hai tam giác có cạnh và góc tương đồng).b) Gọi \(K\) là giao điểm của \(MN\) và \(AB\). Ta cần chứng minh \(NC=AK\).Do \(MN\) là đường phân giác của góc \(ABC\), nên \(MK\) cũng là đường phân giác của góc \(ABC\). Vậy, theo góc phụ, ta có \(BMK \cong AMK\).Từ đó, ta có \(AK=MK\).Nhưng \(BM\) là đoạn trung trực của \(MN\), nên \(MK=KN\).Vậy, \(AK=KN\).Do \(NC\) là cạnh của tam giác vuông \(NBC\), và \(KN\) cũng là cạnh của tam giác vuông \(NBC\), nên theo tính chất của tam giác vuông, ta có \(NC=KN\).Kết hợp với \(AK=KN\), ta có \(NC=AK\).c) Để chứng minh tam giác \(BKC\) là tam giác cân, chúng ta cần chỉ ra rằng hai cạnh \(BC\) và \(BK\) bằng nhau.Vì \(BM\) là đường phân giác của góc \(ABC\), nên theo tính chất của đường phân giác, ta có \(AM=MC\).Như vậy, tam giác \(AMK\) là tam giác cân với \(AK=MK\).Do đó, \(AK=MK\), từ đó suy ra \(BK=KC\).Vậy, tam giác \(BKC\) là tam giác cân với hai cạnh \(BC\) và \(BK\) bằng nhau.