Để chứng minh điều kiện 101 < S² < 400, ta cần tính giá trị của S trước.

S = 2/1 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * ... * 199/200

Ta thấy mẫu số của các phân số liên tiếp luôn lớn hơn tử số, nên ta có thể viết lại S dưới dạng:

S = 2/1 * 4/3 * 6/5 * 8/7 * ... * 200/199

S = (2 * 4 * 6 * 8 * ... * 200) / (1 * 3 * 5 * 7 * ... * 199)

S = 200! / 199!!

Với n > 0, ta có n!! = n * (n - 2) * (n - 4) * ... * 1

Vậy, S = 200! / 199!! = 200! / 199 * 197 * 195 * ... * 1

S = 200 * 199 * 198 * ... * 2 / 199 * 197 * 195 * ... * 1

S = 200 / 1 = 200

Ta có: 101 < S² < 400

101 < 200² < 400

101 < 40000 < 400

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 101 < S² < 400.