Để chứng minh tam giác OMB = tam giác ONA, ta có:
- Ta có OA = OB, ON = OM (theo đề bài)
- Góc OMB = góc ONA (cùng là góc nội tiếp tại M và N)
- Góc OBM = góc ONA (cùng là góc nội tiếp tại M và N)
Vậy tam giác OMB = tam giác ONA (theo góc - góc - góc)

Tương tự, ta có góc AMI = góc BNI (cùng là góc nội tiếp tại I)

Để chứng minh AM = BN và tam giác IAM = tam giác IBN, ta có:
- Ta có OA = OB, ON = OM (theo đề bài)
- Ta có góc AMI = góc BNI (đã chứng minh ở trên)
- Vậy tam giác IAM = tam giác IBN (theo góc - góc - góc)

Để chứng minh OI là tia phân giác của xÔy, ta có:
- Ta có ON = OM, OA = OB, góc MON = góc NOA (cùng là góc nội tiếp tại M và N)
- Vậy OI là tia phân giác của góc xÔy

Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:
- Ta có AM = MB (do tam giác OMB = tam giác ONA)
- Ta có AN = NB (do tam giác IAM = tam giác IBN)
- Vậy K là trung điểm của AB

Vậy ta có I, O, K thẳng hàng (do OI là tia phân giác của góc xÔy và K là trung điểm của AB)