Để phương trình \(x^2 - 4x - m + 1 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện \(\Delta > 0\).

\(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m + 1) = 16 + 4m - 4 = 4m + 12 > 0\)

\(4m + 12 > 0\)

\(4m > -12\)

\(m > -3\)

Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, ta cần \(m > -3\).

Tiếp theo, ta cần tìm m sao cho \(x_1^3 + x_2^3 = 124\).

Ta có \(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2)\).

Theo đề bài, \(x_1 + x_2 = 4\) và \(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2 = 4^2 - 4 \cdot 1 = 12\).

Vậy \(x_1^3 + x_2^3 = 4 \cdot 12 = 48 \neq 124\).

Vậy không tồn tại giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện \(x_1^3 + x_2^3 = 124\).