a) Ta có góc BAH = góc HAM = góc MAC (đều bằng x).
Khi đó, ta có tam giác AHM vuông tại H, do đó ta có:
sin(BAH) = sin(HAM) = sin(MAC) = MH/AH
=> MH = AH*sin(x)
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
sin(BAC) = AH/AC
=> AH = AC*sin(BAC)
=> MH = AC*sin(BAC)*sin(x)
=> MC = 2MH = 2AC*sin(BAC)*sin(x)

b) Ta có góc BAH = góc HAM = góc MAC = x
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
sin(BAC) = AH/AC
=> AH = AC*sin(BAC)
=> AM = AC*sin(BAC)/2
=> MI = AM*sin(x) = AC*sin(BAC)*sin(x)/2
Vậy ta có:
sin(IMB) = MI/MB = AC*sin(BAC)*sin(x)/(2*MC) = sin(BAC)*sin(x)/(4*sin(BAC)*sin(x)) = 1/4
=> góc IMB = 2*góc ABC

c) Tính các góc của tam giác ABC:
Gọi góc ABC = α, ta có:
góc BAC = 90° - α
góc MAC = x
góc MAB = 180° - góc BAC - góc MAC = 180° - (90° - α) - x = 90° + α - x
Vì góc BAH = góc HAM = góc MAC = x nên góc HAB = góc HAM + góc MAB = x + (90° + α - x) = 90° + α
Vậy ta có:
góc ABC = 90° - góc BAC = α
góc BCA = 180° - góc BAC - góc ABC = 180° - (90° - α) - α = 90°
Vậy các góc của tam giác ABC là:
góc ABC = α, góc BCA = 90°, góc CAB = 90° - α