Để chứng minh rằng n^5 + 29n chia hết cho 30, ta cần chia thành 2 trường hợp:

1. Nếu n chia hết cho 3:
Khi đó, n = 3k với k là một số nguyên.
Thay n = 3k vào biểu thức ta được:
(3k)^5 + 29(3k) = 243k^5 + 87k = 3(81k^5 + 29k)
Vì 81k^5 + 29k là một số nguyên, nên n^5 + 29n chia hết cho 30.

2. Nếu n không chia hết cho 3:
Khi đó, ta có thể chia n cho 3 dư 1 hoặc dư 2.
- Nếu n chia cho 3 dư 1: n = 3k + 1 với k là một số nguyên.
Thay n = 3k + 1 vào biểu thức ta được:
(3k + 1)^5 + 29(3k + 1) = 243k^5 + 405k^4 + 270k^3 + 90k^2 + 15k + 1 + 87k + 29
= 243k^5 + 405k^4 + 270k^3 + 90k^2 + 102k + 30
= 3(81k^5 + 135k^4 + 90k^3 + 30k^2 + 34k + 10)
Vì 81k^5 + 135k^4 + 90k^3 + 30k^2 + 34k + 10 là một số nguyên, nên n^5 + 29n chia hết cho 30.
- Nếu n chia cho 3 dư 2: tương tự như trường hợp trên, ta cũng chứng minh được rằng n^5 + 29n chia hết cho 30.

Vậy n^5 + 29n chia hết cho 30 đối với mọi số nguyên n.