Giải bài 1:

a) Ta có phương trình \(m^2x^2 - 2(m+1)x + 1 = 0\) có nghiệm là \(x = 2\).

Đặt \(y = mx\), ta có phương trình \(m^2y^2 - 2(m+1)y + 1 = 0\) với nghiệm \(y = 2\).

Đặt \(f(m) = m^2y^2 - 2(m+1)y + 1\).

Đạo hàm của \(f(m)\) theo \(m\) ta được:

\(f'(m) = 2my^2 - 2y = 0\)

\(\Rightarrow y = 1\)

Thay \(y = 1\) vào phương trình ta được:

\(m^2 - 2(m+1) + 1 = 0\)

\(m^2 - 2m - 1 = 0\)

\(m = 1 \pm \sqrt{2}\)

Vậy giá trị của \(m\) để phương trình có nghiệm là \(2\) là \(m = 1 + \sqrt{2}\).

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta có \(\Delta > 0\):

\(\Delta = 4(m+1)^2 - 4m^2 > 0\)

\(4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 > 0\)

\(8m + 4 > 0\)

\(m > -\frac{1}{2}\)

Giá trị nguyên nhỏ nhất của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(m = 0\).