a) Ta có BD = BA (đề cho) và góc ABD = góc B (do BD = BA), nên tam giác ABD đều.
Do đó, góc ABE = góc DBE = 90° (do AE vuông góc với BC), nên tam giác ABE = tam giác DBE (cùng có góc vuông và cạnh AB bằng nhau).

b) Ta có tam giác ABE = tam giác DBE (đã chứng minh ở câu a), nên góc AEB = góc DEB.
Góc AEB + góc DEA = 180° (do AE và DE là hai tia đối của một góc), nên góc DEA = 180° - góc AEB.
Nhưng góc DEA = góc DAE (do tam giác ADE cân tại A), nên góc DAE = 180° - góc AEB.
Vậy, tam giác ADE cũng là tam giác cân tại A, nên AI = AE.
Do đó, AI = AE < EC (vì AI < AC và AE < AC).

c) Gọi K là giao điểm của tia phân giác của góc ngoài tại C và BE.
Ta có góc BAK = góc CAK (vì AK là tia phân giác của góc ngoài tại C), và góc CAK = góc C (vì AK cắt BC tại K).
Nhưng góc C = góc B (vì tam giác ABC vuông tại A), nên góc BAK = góc B.
Vậy, tam giác BAK cũng là tam giác cân tại A, nên BA = BK.
Do đó, góc BAK = góc BKA = 45°.