Để biểu diễn vector \( \mathbf{c} \) theo các vector không cùng phương \( \mathbf{a} \) và \( \mathbf{b} \), ta cần tìm các hằng số \( \alpha \) và \( \beta \) sao cho:

\[ \mathbf{c} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} \]

Ta giải hệ phương trình tương ứng để tìm \( \alpha \) và \( \beta \).

Đầu tiên, viết lại vector \( \mathbf{b} \) thành dạng tường minh:

\[ \mathbf{b} = (-1, \frac{1}{2}) \]

Sau đó, giải hệ phương trình:

\[ \begin{cases} 4 = 2\alpha - \beta \\ -6 = \frac{1}{2}\beta \end{cases} \]

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

\[ \beta = 2\alpha - 4 \]

Đặt \( \beta = -6 \) vào phương trình trên, ta có:

\[ -6 = \frac{1}{2}(-6) = 2\alpha - 4 \]

\[ -3 = 2\alpha - 4 \]

\[ 2\alpha = 1 \]

\[ \alpha = \frac{1}{2} \]

Đặt \( \alpha = \frac{1}{2} \) vào phương trình \( \beta = 2\alpha - 4 \), ta có:

\[ \beta = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 4 \]

\[ \beta = 1 - 4 \]

\[ \beta = -3 \]

Vậy, ta có:

\[ \alpha = \frac{1}{2} \]
\[ \beta = -3 \]

Do đó, biểu diễn vector \( \mathbf{c} \) theo cặp vector không cùng phương \( \mathbf{a} \) và \( \mathbf{b} \) là:

\[ \mathbf{c} = \frac{1}{2} \mathbf{a} - 3 \mathbf{b} \]