a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp:

Từ đường tròn có đường kính BC, ta có góc BOC = 90 độ. Do đó, góc BFC = góc BEC = 90 độ.

Vì góc BFC và góc BEC là góc nội tiếp tương ứng, nên B, F, E, C nằm trên cùng một đường tròn.

Suy ra, góc AEF = góc ACB và góc AFE = góc ABC.

Vậy, tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AI * HK = FI * EK:

Gọi O là tâm của đường tròn có đường kính BC.

Ta có góc BOC = 90 độ, góc BHC = 90 độ và góc BOC = góc BHC, nên B, O, H, C đều nằm trên cùng một đường tròn.

Từ hai tam giác AEF và ABC, ta có:

AI / FI = sin(góc AEF) / sin(góc ABC) (theo Định lý Sin trong tam giác)

HK / EK = sin(góc EKF) / sin(góc BKC) (theo Định lý Sin trong tam giác)

Nhưng góc AEF = góc ACB và góc EKF = góc BKC.

Vậy, AI / FI = HK / EK.

Do đó, AI * HK = FI * EK.

c) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng:

Vì B, O, H, C đều nằm trên cùng một đường tròn có đường kính BC, nên góc BHC = 90 độ.

Từ đó, suy ra góc BMH = góc HNC = 90 độ.

Vậy, ba điểm M, H, N thẳng hàng.