a) Ta có: $\widehat{MOA} = \widehat{MBA}$ (cùng nằm trên cùng một cạnh) và $\widehat{MAB} = \widehat{MOB}$ (cùng nằm trên cùng một cạnh). Do đó, tứ giác MAOB là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có: $\widehat{MNA} = \widehat{MOP}$ (cùng nằm ở cùng một cung) và $\widehat{MAN} = \widehat{MPO}$ (cùng nằm ở cùng một cung). Do đó, các tam giác MAN và MOP đồng dạng. Từ đó, ta có: $\frac{MA}{MN} = \frac{MP}{MO}$. Suy ra, $MA^2 = MN \cdot MP$.

c) Gọi I là giao điểm của MO và AB. Ta có: $\widehat{MOI} = \widehat{MIA}$ và $\widehat{OMI} = \widehat{OAI}$. Do đó, các tam giác MOI và MIA đồng dạng. Từ đó, ta có: $\frac{OI}{MA} = \frac{OM}{MI}$. Suy ra, $OI \cdot OM = MA \cdot MI$. Vì MI không phụ thuộc vào vị trí của điểm M nên tích OI.OM cũng không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

d) Ta có: $\widehat{NDA} = \widehat{OAD} = 90^\circ$ (OA vuông góc với AD). Do đó, ND // OB. Từ đó, ta có: $\frac{NE}{NA} = \frac{ND}{NO}$. Suy ra, NE = NA. Vậy F là trung điểm của NE.

Vậy là đã chứng minh xong.