Cho (O; R) và đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm C sao cho BC > AC. Các tiếp tuyến tại A và C cắt nhau tại D

Giải:

a, Ta có tứ giác ADCO nội tiếp nếu và chỉ nếu tứ giác đó có tứ giác hai góc ở hai đỉnh đối diện bằng nhau. Ta có:

∠ADC = 180° - ∠CAD (hình vẽ cho biết AC là tiếp tuyến tại A)

∠ACO = 180° - ∠AOC = 180° - ∠ADC (vì tứ giác ADCO nội tiếp)

Vậy ta có: ∠ADC = ∠ACO, suy ra tứ giác ADCO nội tiếp.

b, Ta có OD//CB nếu và chỉ nếu hai góc ở hai đỉnh đối diện bằng nhau. Ta có:

∠ODC = ∠OAC (cùng chắn cung AC trên đường tròn)

∠OCD = ∠OCA (cùng chắn cung AD trên đường tròn)

Vậy ta có OD//CB.

c, Ta có DH.DS = (DS - AH)AH = DS^2 - AH.DS = DS^2 - DC^2 (vì AH là chiều cao trong tam giác DHS)

Do đó, ta cần chứng minh DC^2 = DS^2 để kết luận DH.DS = DC^2.

Chứng minh: Ta có ∠DSC = ∠DAC (cùng chắn cung AC trên đường tròn)

Vậy ta có tam giác DAC đồng dạng với tam giác DSC (c.g.c)

Do đó, ta có DC/DS = DA/DS = AC/SC

Suy ra DC^2 = DS^2.

Vậy ta đã chứng minh được điều cần CMR.