Cho ∆ABC vuông tại A, có BC = 9cm, đường cao AH

a) Ta có:
Góc AHC = 90° (vì ∆ABC vuông tại A)
Góc AHC = góc ABC (do AH là đường cao của ∆ABC)
Vậy ∆AHC đồng dạng ∆ABC (theo góc)
Tương tự, ta có ∆AHC đồng dạng ∆ACB (theo góc)
Do đó, ta có AH/AB = AC/BC và AH/AC = AB/BC
Vậy ∆AHC đồng dạng ∆ABC (theo tỉ lệ)

b) Ta có:
AC = AH + HC = AH + 4
AB = AH + BC = AH + 9
Với AH/AB = AC/BC, ta có:
AH/(AH + 9) = (AH + 4)/9
Suy ra AH = 3cm
Vậy AC = 3 + 4 = 7cm, AB = 3 + 9 = 12cm

c) Gọi I là giao điểm của tia phân giác của góc ABC với AC.
Ta có:
Góc ABI = góc IBC (do AI là tia phân giác của góc ABC)
Góc AIB = góc ABC (do AI là tia phân giác của góc ABC)
Vậy ∆ABI đồng dạng ∆IBC (theo góc)
Tương tự, ta có ∆AMI đồng dạng ∆IMC (theo góc)
Do đó, ta có MA/MI = AB/IB và MI/MC = IB/BC
Kết hợp hai tỉ lệ trên, ta có MA/MC = AB/BC
Suy ra MA/MC = AC/BC
Từ đó, ta có MA.NA = MH.NC.