Cho tam giác ABC vuông tại A tia phân giác của ABC cắt AC ở D qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E

a, Ta có $\angle ABE = \angle ABC + \angle EBC = 90^\circ + \angle EBC = 90^\circ + \angle EBD = 90^\circ + \angle ABD = 90^\circ + \angle ABE$.
Vậy tam giác ABE là tam giác cân.
Do đó, ta có $BD \perp AE$.

b, Ta có $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = 90^\circ + \angle CBD > 90^\circ$ vì $\angle CBD > 0$.
Vậy $AD < DC$.

c, Ta có $HE = \frac{1}{2}EC = \frac{1}{2}CI$.
Ta có $CG = \frac{2}{3}CI = \frac{4}{6}CI = \frac{4}{6}HE = \frac{2}{3}HE$.
Vậy $CG = \frac{2}{3}HE$.
Vậy ta có tam giác $HCG$ là tam giác đều.
Do đó, ta có $\angle GCH = 60^\circ$ và $\angle HCI = 30^\circ$.
Vậy $\angle HCI = \angle HCG$.
Vậy ba điểm $A, G, H$ thẳng hàng.