Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=above:$A$] (A) at (0,2);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (0,0);
\coordinate[label=below:$C$] (C) at (4,0);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at (2,0);
\coordinate[label=below:$E$] (E) at (2,1);
\coordinate[label=above:$F$] (F) at (0.8,1.6);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (B) -- (D);
\draw (B) -- (F);
\draw (D) -- (E);

\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có $\angle BDE = 90^\circ$ (do $DE \perp BC$) và $\angle BAD = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A), nên tam giác BED và tam giác BAD đều có một góc vuông.

Để chứng minh $BED = BAD$, ta chỉ cần chứng minh $BE = BA$.

Ta có $\angle ABE = \angle DBE$ (do BD là tia phân giác của $\angle ABC$), và $\angle AEB = \angle ADB$ (do $DE \parallel AC$).

Do đó, tam giác ABE và tam giác ABD đồng dạng theo góc - cạnh - góc, nên $BE = BA$.

Vậy ta có $BED = BAD$.

b) Ta có $\angle BCF = \angle BCD = 90^\circ$ (do tam giác BCD vuông tại C), nên tam giác BCF cũng là tam giác vuông tại B.

c) Ta cần chứng minh BD là đường trung tuyến của tam giác BCF, tức là BD chia CF đôi.

Ta có $\angle BCF = \angle BCD = 90^\circ$ và $\angle CBF = \angle CBD$ (do BD là tia phân giác của $\angle ABC$), nên tam giác BCF và tam giác BCD đồng dạng theo góc - cạnh - góc.

Do đó, ta có $\frac{CF}{BD} = \frac{BC}{CD} = 2$ (do BD là tia phân giác), tức BD chia CF đôi.

Vậy ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh.