Để chứng minh rằng W₁ là một không gian con của R³, ta cần kiểm tra ba điều kiện sau:
1. W₁ không rỗng: Vì (0, 0, 0) ∈ W₁ với X1 = X2 = 0, nên W₁ không rỗng.
2. W₁ đóng với phép cộng vector: Cho hai vector u = (u1, u2, 0) và v = (v1, v2, 0) thuộc W₁. Khi đó, u + v = (u1 + v1, u2 + v2, 0) cũng thuộc W₁ vì u1 + v1 và u2 + v2 là các số thực.
3. W₁ đóng với việc nhân với số vô hướng: Cho một số thực c và vector u = (u1, u2, 0) thuộc W₁. Khi đó, cu = (cu1, cu2, 0) cũng thuộc W₁ vì cu1 và cu2 là các số thực.

Vì W₁ thỏa mãn cả ba điều kiện trên, nên W₁ là một không gian con của R³.