Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R . Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Gọi M là trung điểm của OA và lấy điểm N thuộc nửa đường tròn sao cho NA qua N và vuông góc với MN cắt Ax, By lần lượt tại C và D

a) Ta có: $\widehat{MND} = \widehat{MNA} + \widehat{AND} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ - \widehat{ANB}$ (do $AN \perp MN$ và $AN \perp AB$)

Vậy tứ giác MNDB nội tiếp.

b) Ta có: $\widehat{ANM} = \widehat{AND} = \widehat{BND}$ (cùng chắn cung ND trên nửa đường tròn)

Do đó, $\triangle ANM \sim \triangle BND$ (có 2 góc tương đồng)

Từ đó, ta có: $\dfrac{AN}{BN} = \dfrac{AM}{BM}$

$\Rightarrow AN \cdot BM = AM \cdot BN$

$\Rightarrow AC \cdot BD = AM \cdot BM$

Vậy $AC \cdot BD = AM \cdot BM = 3R^2$.

c) Gọi $x = \angle OAN$, ta có $\angle OAM = 90^\circ - x$

Diện tích $S_{CMD} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot MD = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot (AM - AD)$

$= \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot (AM - AM \cdot \sin x) = \dfrac{1}{2} \cdot AM \cdot AC \cdot \cos x$

$= \dfrac{1}{2} \cdot AM \cdot BD \cdot \cos x = \dfrac{1}{2} \cdot 3R^2 \cdot \cos x$

Để $S_{CMD}$ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $\cos x$.

Vì $-1 \leq \cos x \leq 1$, nên $S_{CMD}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\cos x = -1$.

Do đó, $x = 180^\circ$ và $N$ nằm trên đường thẳng $AB$ qua $O$.