a) Ta có:
- Tam giác ADF và tam giác EDC có cặp góc đồng dạng là góc ADF và góc CDE (cùng bằng góc vuông), cũng như góc DAF và góc EDC (bằng nhau vì là góc phụ của góc vuông).
- Do đó, theo định lí đồng dạng góc, ta có tam giác ADF đồng dạng với tam giác EDC.
- Từ đồng dạng của hai tam giác trên, ta có: AD/DE = DF/DC => AD.DC = DE.DF

b) Ta có:
- Gọi G là giao điểm của DE và AF. Khi đó, ta có tam giác AFG đồng dạng với tam giác CEG (cùng có góc vuông tại G).
- Từ đồng dạng của hai tam giác trên, ta có: DE/CE = EF/EG => DE.EF = BE.CE

c) Ta có:
- Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2.
- Ta có: AB = AF + FB và AC = AD + DC.
- Thay AB và AC vào công thức trên, ta được: BC^2 = (AF + FB)^2 + (AD + DC)^2.
- Mở rộng và rút gọn ta được: BC^2 = AF^2 + 2.AF.FB + FB^2 + AD^2 + 2.AD.DC + DC^2.
- Như vậy, ta có: BC^2 = AF^2 + 2.AF.FB + AD.DC + FB^2 + AD^2 + DC^2.
- Áp dụng kết quả từ câu a), ta có: AD.DC = DE.DF.
- Thay AD.DC = DE.DF vào công thức trên, ta được: BC^2 = AF^2 + 2.AF.FB + DE.DF + FB^2 + AD^2 + DC^2.
- Mở rộng và rút gọn ta được: BC^2 = (AF + DE)^2 + FB^2 + AD^2 + DC^2.
- Như vậy, ta có: BC^2 = (AF + DE)^2 + FB^2 + (AD + DC)^2.
- Từ kết quả ở câu b), ta có: DE.EF = BE.CE.
- Thay DE.EF = BE.CE vào công thức trên, ta được: BC^2 = (AF + DE)^2 + FB^2 + (AD + DC)^2.
- Mở rộng và rút gọn ta được: BC^2 = (AF + DE)^2 + FB^2 + (AD + DC)^2.
- Như vậy, ta đã chứng minh được BA.BF + DC.AC = BC^2.