Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=|2x-2|+|2x-2003| với x là số nguyên, ta cần xét từng trường hợp của giá trị tuyệt đối.

Khi 2x-2 ≥ 0 và 2x-2003 ≥ 0, ta có:
2x-2+2x-2003 = 4x-2005
Để biểu thức này nhỏ nhất, ta cần x là số nguyên sao cho 4x-2005 là nhỏ nhất, tức là x là số nguyên sao cho 4x là gần nhất với 2005. Ta thấy rằng x = 501 là số nguyên thỏa mãn điều kiện này.

Khi 2x-2 < 0 và 2x-2003 ≥ 0, ta có:
- (2x-2) + (2x-2003) = -4x+2005
Để biểu thức này nhỏ nhất, ta cần x là số nguyên sao cho -4x+2005 là nhỏ nhất, tức là x là số nguyên sao cho -4x là gần nhất với -2005. Ta thấy rằng x = -501 là số nguyên thỏa mãn điều kiện này.

Khi 2x-2 ≥ 0 và 2x-2003 < 0, ta có:
2x-2 - (2x-2003) = 2001
Để biểu thức này nhỏ nhất, ta cần x là số nguyên sao cho 2001 là nhỏ nhất, tức là không cần xét trường hợp này vì 2001 đã là giá trị nhỏ nhất.

Khi 2x-2 < 0 và 2x-2003 < 0, ta có:
- (2x-2) - (2x-2003) = 2001
Để biểu thức này nhỏ nhất, ta cần x là số nguyên sao cho 2001 là nhỏ nhất, tức là không cần xét trường hợp này vì 2001 đã là giá trị nhỏ nhất.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2001, đạt được khi x = -501.