Cho tam giác ABC nhọn AB nhỏ hơn AC nội tiếp O cắt nhau tại H; M. N thứ tự là trung điểm BC; AB

Để chứng minh F, D, M, E nội tiếp, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

Gọi I là giao điểm của EF và BC. Ta có:

$\frac{BI}{CI} = \frac{BF}{CF} \cdot \frac{IE}{IF}$

Vì M là trung điểm của BC nên $\frac{BI}{CI} = 1$. Do đó ta có:

$\frac{BF}{CF} = \frac{IF}{IE}$

Ta cũng có:

$\frac{BF}{CF} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{sin\angle BDF}{sin\angle CDF}$

Và:

$\frac{IF}{IE} = \frac{IM}{IE} = \frac{sin\angle IEM}{sin\angle IEF}$

Do đó:

$\frac{BD}{CD} \cdot \frac{sin\angle BDF}{sin\angle CDF} = \frac{sin\angle IEM}{sin\angle IEF}$

Tương tự, ta cũng có:

$\frac{CE}{BE} = \frac{sin\angle IEM}{sin\angle IEF}$

Kết hợp hai biểu thức trên, ta có:

$\frac{BD}{CD} \cdot \frac{sin\angle BDF}{sin\angle CDF} = \frac{CE}{BE}$

Vậy ta có F, D, M, E nội tiếp.

Để chứng minh AK đi qua trung điểm EF, ta sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC.

Gọi K là giao điểm của AK và EF. Ta có:

$\frac{EK}{KF} = \frac{AE}{AF} \cdot \frac{sin\angle EAK}{sin\angle FAK}$

Vì M là trung điểm của BC nên $\frac{AE}{AF} = 1$. Do đó ta có:

$\frac{EK}{KF} = \frac{sin\angle EAK}{sin\angle FAK}$

Ta cũng có:

$\frac{sin\angle EAK}{sin\angle FAK} = \frac{sin\angle EAM}{sin\angle FAM}$

Vì F, D, M, E nội tiếp nên $\angle EAM = \angle EDM$ và $\angle FAM = \angle FDM$. Do đó:

$\frac{EK}{KF} = \frac{sin\angle EDM}{sin\angle FDM} = 1$

Vậy ta có AK đi qua trung điểm EF.