Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên BC lấy điểm E sao cho BA = BE

Để chứng minh các điều cần chứng minh, ta vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B$] (B) at (0,3);
\coordinate[label=below right:$C$] (C) at (4,0);
\coordinate[label=below:$E$] (E) at (2,3);
\coordinate[label=below:$M$] (M) at (3,1);
\coordinate[label=below:$D$] (D) at (6,3);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (B) -- (E);
\draw (E) -- (M);
\draw (M) -- (D);

\draw (A) -- (C);

\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có BA = BE, nên tam giác ABE đều. Khi đó, góc AEB = 60 độ. Do tam giác ABC vuông tại A nên góc ABC = 90 độ. Vậy góc EBM = 90 - 60 = 30 độ.

Ta có góc EBM = góc EBC + góc CBE = góc EAC + góc CBA = góc EAM + góc CBA = góc EAM + góc EBM.

Do đó, BM là tia phân giác của góc ABC.

Ta có góc EAM = 90 - góc EAC = 90 - góc EBC = góc CBE = góc EBM.

Vậy tam giác EAM đều, nên MA = ME.

b) Ta có tam giác EAM đều, nên AM = ME.

Ta có tam giác EMC vuông tại M, nên CM > ME.

Vậy AM = ME < CM.

c) Ta có MD = MC, nên tam giác MDC đều.

Vậy góc CMD = 60 độ.

Ta có góc CME = 90 - góc EMC = 90 - góc EAM = góc EBM = 30 độ.

Vậy góc CMD = 2 * góc CME.

Do đó, B, A, D thẳng hàng.