Để chứng minh I, D, F thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC và các tam giác vuông.

Gọi G là giao điểm của DF và AC. Ta cần chứng minh I, D, F thẳng hàng, tương đương với việc chứng minh tỉ số:

$\frac{AI}{IH} \cdot \frac{HD}{DC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

Ta có:

$\frac{AI}{IH} = \frac{sin \angle AHI}{sin \angle HAI}$ (theo định lí sin trong tam giác AHG)

$\frac{HD}{DC} = \frac{HB}{DC} = \frac{DE}{DC} = \frac{sin \angle CDE}{sin \angle DCE}$ (theo định lí sin trong tam giác CDE)

$\frac{CF}{FA} = \frac{sin \angle CFA}{sin \angle FCA}$ (theo định lí sin trong tam giác AFC)

Như vậy, ta cần chứng minh:

$\frac{sin \angle AHI}{sin \angle HAI} \cdot \frac{sin \angle CDE}{sin \angle DCE} \cdot \frac{sin \angle CFA}{sin \angle FCA} = 1$

Ta có $\angle AHI = \angle CDE$ (do CE // HD), $\angle HAI = \angle DCE$ (do AH // DE), và $\angle CFA = \angle FCA$ (do CF // AD).

Vậy ta có $\frac{sin \angle AHI}{sin \angle HAI} \cdot \frac{sin \angle CDE}{sin \angle DCE} \cdot \frac{sin \angle CFA}{sin \angle FCA} = 1$, từ đó suy ra I, D, F thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được I, D, F thẳng hàng.