a) Ta có:
$\angle ADB = 90^\circ$ (do $BD$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle AEC = 90^\circ$ (do $CE$ là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle ADB + \angle AEC = 180^\circ$
$\Rightarrow$ Tứ giác $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.
Tương tự, ta có tứ giác $BCDE$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle AFB = \angle AOB$ (cùng chắn cung $AF$)
$\angle AFB = \angle ACB$ (cùng chắn cung $AF$)
$\Rightarrow \angle AOB = \angle ACB$
$\Rightarrow \triangle AOB \sim \triangle ACB$
$\Rightarrow \frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}$
$\Rightarrow AE \cdot AC = AD \cdot AB$

c) Ta có:
$\angle AFI = 90^\circ$ (do $AF$ là đường kính của đường tròn)
$\angle AIE = 90^\circ$ (do $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn)
$\Rightarrow AI$ vuông góc với $DE$.

d) Gọi $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $r$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$.
Ta có:
$AH \cdot HD = BH \cdot HC$ (do tứ giác $ADHE$, $BCDE$ là tứ giác nội tiếp)
$\Rightarrow \frac{AH}{BH} = \frac{HC}{HD}$
$\Rightarrow \frac{AH}{BH} = \frac{r}{R}$
$\Rightarrow R = r$
Vậy bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$.

Như vậy, các điều cần chứng minh đã được chứng minh.