Để rút gọn biểu thức P, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tổng chung mẫu số của biểu thức.
P = ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / (1 - (x - 8)/(x^2 + x + 1))
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / (1 - (x - 8)/((x + 1)(x + 1)))
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / (1 - (x - 8)/(x^2 + 2x + 1))
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / (1 - (x - 8)/(x + 1)^2)
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / ((x + 1)^2 - (x - 8)(x + 1)^2/(x + 1)^2)
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / ((x + 1)^2 - (x^2 - 7x - 8)/(x + 1)^2)
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / ((x + 1)^2 - (x^2 + x - 8)/(x + 1)^2)
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / ((x + 1)^2 - (x^2 + x + 1 - 9)/(x + 1)^2)
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / ((x + 1)^2 - (x^2 + x + 1)/(x + 1)^2 + 9/(x + 1)^2)
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) / (9/(x + 1)^2)
= ((x - 4)/(x^7 - 1) + 1/(x - 1)) * (x + 1)^2 / 9
= ((x - 4)(x + 1)^2 + 9(x + 1)^2) / 9(x^7 - 1)
= (x^3 - 2x^2 - 3x + 9) / 9(x^7 - 1)

2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Để biểu thức P nhận giá trị nguyên, ta cần xác định điều kiện để tử số chia hết cho mẫu số.
Tử số chia hết cho mẫu số khi và chỉ khi tử số chia hết cho 9(x^7 - 1).
Điều này có nghĩa là x^3 - 2x^2 - 3x + 9 chia hết cho 9(x^7 - 1).

Để tìm các giá trị nguyên của x thỏa mãn điều kiện trên, ta cần giải phương trình:
x^3 - 2x^2 - 3x + 9 = 9(x^7 - 1)
x^3 - 2x^2 - 3x + 9 = 9x^7 - 9
x^3 - 2x^2 - 3x + 9 - 9x^7 + 9 = 0
-9x^7 + x^3 - 2x^2 - 3x = 0
x(-9x^6 + x^2 - 2x - 3) = 0

Phương trình có nghiệm x = 0 và x = -1.

Vậy các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên là x = 0 và x = -1.