Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là trung điểm của AC. Trên tia đối của MB lấy điểm D sao cho MD = MB

a) Ta có MB=MD và AM=MC (do M là trung điểm của AC), nên tam giác MBD và tam giác MCB đều có cạnh MB chung và cạnh đối lần lượt là MD và MC. Do đó, ta có:

$\angle MBD = \angle MCB$ (cạnh chung)
$\angle MDB = \angle MBC$ (cạnh chung)
$\angle BMD = \angle CMB$ (cùng bằng 90 độ)

Vậy tam giác MBD và tam giác MCB đồng dạng (theo góc), từ đó ta có:

$\frac{BD}{BC} = \frac{MD}{MC} = \frac{MB}{MB} = 1$

Do đó, BD = BC và ta có BC = BA (do tam giác ABC vuông tại A), từ đó suy ra CD = BC.

b) Ta có CE = CA và DI = IE (do I là trung điểm của DE), nên tam giác CDE và tam giác CAE đồng dạng (theo định lí đồng dạng cạnh-cạnh). Từ đó, ta có:

$\angle CDE = \angle CAE$
$\angle CED = \angle CEA$
$\angle DCE = \angle ACE$ (cùng bằng 90 độ)

Vậy tam giác CDE và tam giác CAE đồng dạng (theo góc), từ đó ta có:

$\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CA} = \frac{DE}{AE} = 1$

Do đó, CD = CA và ta có BA song song với DE. Vậy ta có ba điểm B, C, I thẳng hàng.