a) Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d, ta sử dụng công thức:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
Trong đó, (x0, y0) là tọa độ của điểm A, A = 2, B = -1, C = 1.
Thay vào công thức ta được:
\[d = \frac{|2*(-1) - 1*2 + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2 - 2 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\]

Vậy khoảng cách từ A đến d là \(\frac{1}{\sqrt{5}}\).

b) Để tính hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng B, ta cần tìm điểm C trên đường thẳng B sao cho AC vuông góc với B. Điểm C chính là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng B.

Đường thẳng B có phương trình: y = -\(\frac{2}{5}\)x + \(\frac{8}{5}\)

Gọi tọa độ của điểm C là (x, y), ta có phương trình của đường thẳng AC là: y = \(\frac{1}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)

Để AC vuông góc với B, ta có: \(\frac{1}{2}*(-\frac{2}{5}) = -1\)

Suy ra x = 5, y = \(\frac{13}{2}\)

Vậy hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng B là điểm C(5, \(\frac{13}{2}\)).

c) Để tìm điểm C trên trục Oy sao cho trọng tâm tam giác ABC nằm trên đường thẳng d, ta cần tìm tọa độ y của điểm C.

Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ là: \((\frac{-1+4+5}{3}, \frac{2+0+\frac{13}{2}}{3}) = (2.67, \frac{15}{6})\)

Điểm C có tọa độ là (0, y), ta có phương trình của đường thẳng AC là: y = \(\frac{1}{2}\)x + \(\frac{3}{2}\)

Điểm C nằm trên đường thẳng d nên ta có: 2*0 - y + 1 = 0

Suy ra y = 1

Vậy điểm C có tọa độ là (0, 1).

Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ 3 đỉnh là (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3):
\[S = \frac{1}{2} * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|\]

Thay vào công thức ta được:
\[S = \frac{1}{2} * |(-1)(0 - 1) + 4(1 - 2) + 5(2 - 0)| = \frac{1}{2} * |1 + 4 - 10| = \frac{1}{2} * 5 = 2.5\]

Vậy diện tích tam giác ABC là 2.5 đơn vị vuông.