Để chứng minh ba điều cần chứng minh, ta cần vẽ hình như sau:

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=below right:$B$] (B) at (4,0);
\coordinate[label=above:$C$] (C) at (2,3);
\coordinate[label=above:$M$] (M) at ($(A)!0.5!(C)$);
\coordinate[label=above:$N$] (N) at ($(A)!0.5!(B)$);
\coordinate[label=above:$D$] (D) at ($(B)!0.5!(M)$);
\coordinate[label=above:$E$] (E) at ($(N)!1.5!(C)$);

\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw (A) -- (M);
\draw (A) -- (N);
\draw (C) -- (E);
\draw (M) -- (D);
\draw (D) -- (B);
\draw (E) -- (N);

\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

a) Ta có AM = MC (do M là trung điểm của AC) và MD = MB (do D là trung điểm của MB), nên theo nguyên lý cạnh và góc đối, ta có:
\[
\angle AMD = \angle CMB \quad \text{(cạnh và góc đối)}
\]
\[
\angle MAD = \angle MCB \quad \text{(cạnh và góc đối)}
\]
Vậy tam giác AMD = tam giác CMB (theo góc - cạnh - góc).

b) Ta có NE = NC và MD = MB, nên tam giác NED = tam giác MCB (theo góc - cạnh - góc). Do đó, ta có:
\[
\angle NED = \angle MCB
\]
\[
\angle NDE = \angle MBC
\]
Vậy ta có AD // BC (do cặp góc tương đương).

c) Ta có NE = NC và MD = MB, nên ta có:
\[
\frac{NE}{NC} = \frac{MD}{MB} = \frac{1}{2}
\]
Vậy theo nguyên lý đồng tỉ số, ta có A là trung điểm của DE.