Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, C là trung điểm của cung AB, N là trung điểm BC. Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) tại M. Hạ CI⊥AM (I∈AM)

Để chứng minh tứ giác BMCI là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác này bằng nhau và hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm.

Ta có:
- BC = 2CN (vì C là trung điểm của AB)
- CI = 2IM (vì N là trung điểm của BC và I là hình chiếu của M trên BC)
- Góc BCI = góc MCI (vì BC // IM)
- Góc IBC = góc MIC (vì BC // IM)

Vậy ta có tứ giác BMCI là hình bình hành.

Để chứng minh góc IOM bằng góc IAC, ta có:
- Góc IOM = góc ICM (vì IM // AC)
- Góc ICM = góc ICA (vì CI // AN và IC là đường cao của tam giác IAM)
- Vậy góc IOM = góc ICA.